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液膜斷裂點與電壓最大值在表面張力測量中的對比研究（二）
來源：物理實驗 瀏覽 230 次 發布時間:2026-02-04
2.2 基于U斷前的表面張力系數修正
實驗發現，采用斷裂點計算的表面張力系數α2，隨著吊環周長的減小而不斷減小。對于126.1 mm周長的吊環，得到α2=76.7×10-3 N/m，對于57.4 mm周長的吊環，α2=53.3×10-3 N/m，表面張力系數減小了約1/3。表面張力系數的測量值是否與吊環尺寸有關？筆者因此對實驗測量進行更為系統的研究。
經過對比標準環（d?=34.03 mm）與自制環（d?=40.1 mm）拉出的水膜在斷裂處的圓周直徑相較于吊環直徑明顯變小。經過測量，標準環對應的水膜斷裂處直徑為33.1 mm。同樣對于自制環水膜斷裂處的直徑也都減小。如表2所示，對于直徑為33.4 mm和18.1 mm的吊環，水膜最細處直徑是對應吊環直徑的93%和79%?？梢钥闯觯S著自制環直徑的減小，水膜斷裂時的直徑減小程度逐漸增大。
表２ 環直徑與水膜斷裂處直徑的比較以及修正后的表面張力系數
| C/mm | d?/mm | d斷/mm | d斷/d? | α2′/(10-3 N·m-1) | E |
|---|---|---|---|---|---|
| 106.88 | 34.03 | 33.1 | 0.97 | 73.9 | 1.2% |
| 126.1 | 40.1 | 38.3 | 0.95 | 81.1 | 9.8% |
| 105.5 | 33.4 | 31.0 | 0.93 | 77.5 | 6.6% |
| 78.2 | 24.8 | 22.3 | 0.90 | 68.7 | -5.9% |
| 57.4 | 18.1 | 14.3 | 0.79 | 67.5 | -7.5% |
圖5給出了水膜直徑變小示意圖。吊環拉出的水膜，其內表面、外表面都是雙曲面，但不對稱。一般而言，外表面的曲率半徑較小，而內表面的曲率半徑較大，2個曲面頂點處的位置（圖5中M和N所示）將偏離吊環內、外徑的平均值d?=(d1+d2)/2，如圖5中的豎直虛線所示。所以水膜斷裂處的直徑d斷，將小于吊環的d?，即d斷 < d?。由表2數據可以看出，隨著吊環直徑的減小，對應水膜的內、外曲面的不對稱程度增加，斷裂處水膜直徑的收縮程度（"頸縮"）增大，所以2個直徑的比值d斷/d?變小。
根據上述分析，水膜在斷裂處的直徑明顯小于吊環直徑，所以將斷裂處水膜的直徑d斷代入式(5)才合理，修正后的表面張力系數α2′將大于修正前的α2。如標準環，表面張力系數由α2=72.0×10-3 N/m增加到α2′=73.9×10-3 N/m。對于標準環，斷裂點水膜直徑收縮很小，即d斷/d?=0.97，所以其α2及α2′誤差變化都很小。但對于自制吊環，修正后的α2′誤差有的變大，有的減小?？梢姡瑑H僅考慮斷裂處水膜直徑的變小修正α是不全面的，誤差還有其他來源。
因為水膜斷裂的瞬間很難確定，圖1(d)表示水膜斷裂瞬間的形狀，此時的拉力由圖3中的U斷前表示。但在實際操作中，兩者不能對應。水膜斷裂是電壓陡降的過程，非常迅速，電壓表無法顯示。所以實際記錄的U斷前對應圖1(c)的水膜形狀，此時拉力F明顯大于U斷前。因此，由式(5)可知，采用水膜斷裂"瞬間值"計算的表面張力系數比實際斷裂點（理論值）大。對于105.5 mm的吊環，其α2′=77.5×10-3 N/m，比理論值大6.6%。
另一方面，對于尺寸較小的吊環，如圖6所示，水膜的內表面將連接在一起，只有外表面的表面張力起作用，但在計算公式中，仍以2πd?代入式(5)中，所以表面張力系數的計算值偏小。標準環的尺寸適中，環壁很薄，所以圖1(c)與圖1(d)水膜形狀近似相同，實際測量的F等于U斷前，因此計算得到的α2誤差很小?？梢?，選用水膜斷裂點計算的表面張力系數的影響因素很多，實際斷裂點的瞬間位置、吊環尺寸、吊環厚薄等都是需要考慮的因素。
2.3 基于Umax表面張力系數的修正
表３ 考慮水膜重力用最大電壓處修正后的表面張力系數
| C/mm | Umax-U斷后/V | h/mm | m膜/g | m1′/g | ΔU膜/V | ΔU膜/(Umax-U斷后) | α1′/(10-3 N·m-1) | Eα1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 106.88 | 0.099 | 3.0 | 0.32 | 0.02 | 0.016 | 15.8% | 73.5 | 0.6% |
| 126.1 | 0.128 | 4.5 | 0.56 | 0.026 | 0.028 | 21.9% | 75.0 | 2.7% |
| 105.5 | 0.105 | 3.9 | 0.41 | 0.025 | 0.020 | 19.1% | 75.9 | 2.9% |
| 78.2 | 0.074 | 3.0 | 0.23 | 0.014 | 0.011 | 15.6% | 74.7 | 3.9% |
| 57.4 | 0.051 | 3.0 | 0.17 | 0.013 | 0.008 | 16.3% | 69.7 | -4.5% |
相比較水膜斷裂點，在電壓最大值處，考慮水膜重力情況下，進行表面張力系數的計算，其誤差要小很多。表3為最大電壓處[圖1(b)]計算得到的水膜重力和修正后的表面張力系數。根據上面理論分析和實驗驗證，得知采用電壓最大值計算的表面張力系數比理論值大(m膜 - m1′)g。水膜的高度由圖4給出，從而可以計算出每個吊環下面拉出的水膜重力。斷裂后殘留水膜的質量(m1′)直接用天平稱量。如標準環，h為3.0 mm，d?=34.03 mm，水膜厚度（環壁厚度）約為1.0 mm，則水膜質量為m膜=0.32 g；而殘留水膜質量為m1′=0.02 g，所以換算成力敏傳感器的電壓值為ΔU膜=(m膜 - m1′)gK=0.016 V。對于標準環，拉出的水膜占比為ΔU膜/(Umax - U斷后)=0.0158，最后得到α1′=α1·(1-0.0158)=73.5×10-3 N/m，其相對偏差僅為0.6%。也可采用
α = (Umax - ΔU膜 - U斷后) / (2Kπd?) (6)
計算，由表3可以看出，除了最小吊環，相對誤差仍為-4.5%外，其他自制吊環測量的表面張力系數的相對誤差都小于4.0%。
采用隔離法，對電壓最大值處的水膜進行受力分析。圖7中虛線將水膜分成2部分，吊環正下方的水膜由于水分子相互吸引力附加在拉力Fmax中，而另一部分水膜的重力m′g，與2fA以及水膜與液面處的表面張力2fCcosβ，三者形成平衡狀態，即受力分析與水膜斷裂時[圖1(d)]m2的受力相似。所以計算水膜的重力僅僅需要考慮吊環正下方的重力即可。另外，電壓最大值處的水膜穩定性最好，拉升高度h容易測量。對于尺寸較小的吊環（πd?=78.2 mm），電壓最大值處，水膜的內表面沒有連接在一起，仍然與液體表面接觸良好，所以測量的誤差也較小（Eα1=3.9%）。但是對于特別小的吊環（πd?=57.4 mm），水膜的內表面連接在一起，其表面張力系數明顯偏小。
3 結束語
本文討論了表面張力系數測定中的液膜斷裂點問題。通過完整的液膜拉升過程的受力分析和實驗驗證，找到誤差來源。對電壓最大值點，必須考慮液膜自身重力，由此得到的表面張力系數修正值與理論值的誤差較小。對于液膜斷裂的瞬間值，則必須考慮液膜斷裂處的直徑收縮，從而對表面張力系數也要進行修正。雖然此時液膜受力的物理圖像清晰，但是由于實際操作中，斷裂點的電壓讀數非常困難，所得結果誤差較大。
